মার্সেন মৌলিক সংখ্যার পেছনে যে রহস্য রয়েছে

মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে কম-বেশি সবাই জানেন। কোনো সংখ্যাকে ১ এবং ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা না গেলে, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যার বেশ কিছু ধরন আছে। যেমন যমজ মৌলিক বা টুইন প্রাইম। এ ধরনের মৌলিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ২-এর ব্যবধান থাকে। যেমন ১১ ও ১৩। এরকম একধরনের মৌলিক সংখ্যার নাম মার্সেন প্রাইম বা মার্সেন মৌলিক সংখ্যা। আজকের আলোচনা এই মার্সেন প্রাইম নিয়ে।

২-এর মৌলিক ঘাত বা প্রাইম পাওয়ার, এমন কোনো সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাই মার্সেন প্রাইম। সংজ্ঞাটা বোধ হয় একটু কঠিন হয়ে গেল। এটাকে গাণিতিকভাবে লেখা হয়, ২^{ক (মৌলিক)} – ১। একটু ব্যাখ্যা করলে আরও স্পষ্ট হবে। ৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা। একে ২^{ক (মৌলিক)} – ১ আকারে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ ৩১ হলো ২^৫ – ১ = ৩২ – ১ = ৩১। আর ২^৫ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ৩২। এখানে, বলা বাহুল্য, ২-এর পাওয়ার বা ঘাত ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা।

তবে সব সময় ২-এর পাওয়ার মৌলিক হলেও সংখ্যাটা মৌলিক হয় না। যেমন ১১ একটি মৌলিক সংখ্যা। ২-এর পাওয়ার ১১ করলে হয় ২^১১ = ২০৪৮। এ থেকে ১ বিয়োগ করলে হয় ২০৪৭, যা মৌলিক সংখ্যা নয়। ২৩ ও ৮৯ গুণ করলে হয় ২০৪৭। অর্থাৎ এই সংখ্যাটি ২৩ ও ৮৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। ফলে দেখা যাচ্ছে, সব মার্সেন প্রাইম সংখ্যা আসলে মৌলিক নয়।

২^{ক (মৌলিক)} – ১ সূত্রে ক (মৌলিক)-এর পরিবর্তে ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ৩১… সংখ্যাগুলো ব্যবহার করলে যথাক্রমে ৩, ৭, ৩১, ১২৭, ৮১৯১, ১৩১০৭১, ৫২৪২৮৭, ২১৪৭৪৮৩৬৪৭,…সংখ্যাগুলো পাওয়া যাবে। এগুলো সবই মৌলিক সংখ্যা।

আচ্ছা, মার্সেন প্রাইম নামটা এল কীভাবে? ফরাসি পণ্ডিত মেরিন মার্সেনের নামানুসারে এই মৌলিক সংখ্যার নামকরণ করা হয়েছে। ১৭ শতকের শেষ দিকে তিনি ২৫৭ সূচক পর্যন্ত মার্সেন প্রাইমের তালিকা করেছিলেন। তাঁর তালিকার সংখ্যাগুলো ছিল ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ৩১, ৬৭, ১২৭ ও ২৫৭। সতেরো শতকের দিকে আধুনিক কম্পিউটারের তেমন প্রচলন ছিল না। তাই এর চেয়ে বেশি মার্সেন প্রাইম তিনি বের করতে পারেননি।

তবে এখন পর্যন্ত আমাদের জানা সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যাটা কিন্তু মার্সেন প্রাইম। সংখ্যাটি হলো ২^{৮,২৫,৮৯,৯৩৩} – ১। অর্থাৎ ২-কে ৮,২৫,৮৯,৯৩৩ বার গুণ করে, সেখান থেকে ১ বিয়োগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটাই আমাদের জানা সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা। সংখ্যাটি লিখতে লাগে ২ কোটি ৪৮ লাখ ৬২ হাজার ৪৮টি অঙ্ক!